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[国学论道] 诸子百家给欧几里德拎草鞋都不配!

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发表于 3/7/2017 23:01:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

古希腊人有求真的执着,不在意是否有用。亚里士多德说:科学是超功利的、为自己而存在、不再为别的目的服务的知识。柏拉图说:学天文学不是为了航海;而是为了唤醒灵魂——你了解天上美妙的规律,就会觉得确实有一个理性世界存在,你的理性觉醒了,你就成人了。中国人了解天象、破解天意是帝王的政治需要,并不以发现天界规律为目标,也不相信存在这样的规律。“杞国无事忧天倾”——连诗仙李白都嘲笑国人的好奇心,中国怎么会有科学?中国人时刻强调学以致用。《庄子·列御寇》:“朱泙漫学屠龙于支离益,单(通“殚”)千金之家(家产)。三年技成,而无所用其巧(技巧)。”屠龙之术指极为高明的技术本领,但是在现实中用不到,成了中国人嘲讽的对象。


林炎平:屠龙之术vs学以致用——为什么古中国没有科学_

我是由于李约瑟而写这篇文章的,或者说我是为了那些喜爱李约瑟的人而写这篇文章的。

李约瑟的观点深受中国人的宠爱,这是可以理解的。多么令人振奋!我们华夏在科学上居然领先了西方1700年!这是一个让人想起来就夜不成寐的结论。我曾经也为之激动不已夜不成寐,后来因为发现我上当了,也为此夜不成寐:你可以忽悠,但是不能这么忽悠。这就如同我家一贫如洗,突然有人告诉我,我的祖上曾经是世界首富。这是多么令人振奋?尽管我们都声称自己不是阿Q,但是当梦寐以求可望而不可及的目标居然曾经是我们的历史,感情谁都会成为阿Q,即便是短时间的业余阿Q。结果发现,全是瞎话。与其如此得而复失,不如当初不得。再说这根本不是“得”,而是一个海市蜃楼,除了让我们都体会到我们都有某种阿Q情结外,我们什么也没得到。

我不知道为什么李约瑟这样一个在自然科学上基本不通的人要下这么宏伟和不靠谱的结论。我总觉得,李约瑟的结论与其说是来自研究考证,不如说是来自他的中国太太鲁桂珍的压力。世界上有一种风是最强大最难以抵御的,那不是台风,也不是龙卷风,也不是飓风,而是……听好了……枕边风!当一个没有科学精神的人遇到了枕边风,结局很悲催。这大概就是李约瑟悲剧。“李约瑟问题”是一个伪命题,而李约瑟悲剧是一个真悲剧。

我和McGill大学的Yates教授有过几次争论,我们的观点截然不同。我具有中国背景,但是我完全不赞同李约瑟对中国的美誉;Yates是英国人,却基本同意李约瑟对中国的溢美之词。作为理工背景的我,对人文并不陌生,对古希腊的科学史非常熟悉,对中国古代的有技术但无科学也深入思考过。Yates对我的辩论无法正面抵挡,于是他拿出李约瑟的武器(毕竟,他是李约瑟的嫡系弟子):I merely gave the benefit of doubt to Chinese。意思就是当结论可以这样也可以那样的时候,我把好处给 了中国。Benefit of doubt是法律用语,意思是当证据不足无法确定是否有罪时该受益的这一方。比如在刑事案审理中,被控有罪的人享有“Benefit of Doubt”,亦即,当证据足以怀疑他有罪但不足以确凿证明他有罪,而他也无法证明他无罪的时候,被告作为无罪处理。

李约瑟的这句话道出了他对中国的偏爱,也道出了他的偏见,至于这是否由于来自他对于他太太的偏爱并不重要,重要的是,他的这个态度本身不科学。

其实,据我对中国科学史的研究和对希腊科学史的研究,我可以非常负责任地说,中国有技术,但是没有科学。中国从来都没有接近过科学。比如中国的算术,其实中国没有数学,只有算术。数学是科学,而算术距离科学还有很大的距离。如果不远离功利和进入抽象,科学是不可能产生的。

中国最接近科学的是东汉的赵爽,他在毕达哥拉斯证明勾股定理700年后再次证明了勾股定理。勾股定理在被证明之前,没有什么科学意义,而只是一种经验。从普适角度证明勾股定理可以被称作接近了科学,但是如果仅仅是一个单一这样的事例,依旧不能说明问题。祖冲之也许是中国最有科学精神的人,但至于祖冲之的圆周率的计算,这实在不能称作科学,而仅仅是算术。早于祖冲之1000年的阿基米德早就知道圆周率的精确算法,按照他的方法,可以算出任意多位精确的圆周率,但阿基米德认为这是“蓝领工作”而算了几位就束之高阁。阿基米德创造的“穷竭法”实际上非常接近微积分,他用此来计算球的体积和面积,给出了近代用微积分才可以得到的解析解。而圆周率只是阿基米德的穷竭法的副产品。

至于常常被人挂在嘴边的也是由李约瑟为了讨好鲁桂珍而提出的“四大发明”更加和科学毫不相干。

那么为什么中国没有科学,甚至没有接近过科学?在中国,有几个重要的价值观导致了这个结局。首先是难得糊涂,其次是学以致用,最后是以食为天。

要比较科学的发祥地古希腊的价值观和华夏的不同,可以比较他们是如何对待一些关键问题的。比如在古希腊时代,有这样一个典型的事例,有人居然问这样的问题:素数(质数)的个数是无限的吗?

这样的问题有多坑爹啊!更加坑爹的是,居然有人要证明这个命题的真伪!比这更加更加坑爹的是居然欧几里德证明了这个命题。也就是说:素数的个数是无限的。

在华夏,从来没有人提出这样的问题,如果有人提出这样的问题,那么此人估计是混不下去的,因为他会被认为是一个疯子。华夏人会问:这有什么用处吗?当然没用。不仅当时无用,今天也无用。数论是最没有用处的。于是,华夏人就会问:没用的东西你搞什么?你这不是吃饱了撑的?既然你吃饱了没事干撑得慌,就干点别的事情吧。也许就是劳改吧?知识分子要改造思想不就是这么来的吗?你们整天在整一些没用的东西,不如去挑大粪。

更多的华夏人会问,你这么认真干什么?你不知道素数到底有穷还是无穷会死啊?我连什么是素数都不知道,不也活得好好的吗?不要这么计较,不清不楚不是也这么过日子吗?水至清则无鱼,人至察则无徒,你如果是一个老师,你这样要求学生,你肯定是无徒之人。

你知道为什么孔夫子有这么多的徒弟吗?因为他从来不追根刨底任何问题。孔夫子没有任何科学精神,这才使得他成了万世师表。如果他当时如同欧几里德这样,他必定是一个无徒之徒。


想知道欧几里德是如何证明素数的个数是无穷的吗?真的是奇妙无比,而且极其简洁。但是我不忍心在这里表述,因为很多人会为此落荒而逃。但是我也不忍心不在这里表述,因为我不想难得糊涂。证明如下(如果你看不懂这个证明,也没啥,继续努力就是了):假定素数的个数是有限的,个数为n,最大的素数是Pn。把所有n个素数都乘起来,其乘积

S = P1·P2····Pn

现在考察S + 1.

如果其是素数,那么我们就有了n+1个素数,因此最初的假定不成立,于是素数的个数是无限的。

如果其不是素数,那么必定可以被一个素数P整除,而P一定不是原先这n个素数中的任何一个,因为用原先任何一个素数做除数都会有余数1。于是我们至少有n+1个素数。

因此,最先的假设不成立。亦即,素数的个数是无限的。证明完毕。

这真的是一个亮瞎你的双眼的证明。要知道这是2300年前,华夏连这样的问题都提不出来的时候,人家就证明了这个命题。这就是逻辑的力量,还有想象力的力量。我当时看到这个证明的时候真的是汗流浃背心跳加快:完了!这回完了!看来老庄孔孟诸子百家都加起来也不够给欧几里德拎草鞋的资格了!

欧几里德不仅仅证明了素数的个数是无穷的,而且他还有这么一段轶事:他曾经在柏拉图学园里当校长。一个小伙子来求学,过了几天,这个小伙子满脸困惑地来找欧几里德:“几何有什么用处?”欧几里德立即叫来了教务长:“请给这位年轻人一点钱,让他马上离开这里,他居然想在这里学有用的东西!”

古希腊人研究的这些被我们后世称作科学的东西在当时都是无用的。是名副其实的“屠龙之术”。如果这样的东西在华夏教授,那么学园会很快关闭,因为我们是学以致用,没用的东西我们是不屑学习的。我们和古希腊人的价值观的差别就在这里,古希腊人认为,追求真理是一种美德,那本身就是一种幸福,为什么一定要有用?难道幸福本身不值得追求吗?华夏的认识基本上是:如果这个东西是不能吃不能用的,就没有理由追究,否则就是“吃饱了撑的”。

“屠龙之术”在华夏成为了如此家喻户晓的格言,从小到老告诫着中国人:不要去学那没用的东西。我们一代又一代地嘲笑和惩罚那些思考不能立即有用的东西的人,后来,这样可以供我们嘲笑的人已经不多了,越来越少了,他们都绝种了。既然他们绝种了,科学还会有吗?他们还没有动科学的一点点脑筋,就被整个社会打入另册,划为异己,你还指望我们接近科学吗?

古希腊的科学都是不折不扣的屠龙之术。欧几里德几何有用吗?在古希腊基本毫无用处。那一整套公理系统,简直要让咱华夏人笑掉大牙:太较真了,无徒啊!太可笑了,有用吗?太坑爹了,能吃吗?祖冲之还好是在朝廷里混个职位,业余时间算了算圆周率。如果他没有那个公务员职位,早就被骂死了饿死了。

古希腊还有一个超级坑爹的,和欧几里德基本上是一个数量级的,叫做阿波罗尼。此哥们研究的是圆锥曲线。也就是说,你把一个圆锥拿来垂直放在空间里,拿想象的平面来切它,你就得到了如下几种曲线,然后研究他们的性质:

1) 平行于底面切:圆;

2) 平行于圆锥侧面:抛物线;

3) 介于以上两者:椭圆

4) 垂直于底面:双曲线;


还有比这更加无用的吗?说它无用,那是最仁慈的说法,那简直就是坑爹!你这么拿一个想象的圆锥,用想象的平面,这么切那么切,你想干啥?那是大白菜,那是猪肉,那还有点意思。你这么切一个圆锥,绝对精神病,而且病得不轻。这是咱聪明的中国人的结论。你见过庄子想象过这玩意吗?他老人家想象倒是丰富,那鲲鹏展翅,好几万里。接着就是结论。过程糊涂,结论宏大,没有推理,非常省事。咱要的就是这个劲!不仅省事,而且讨巧,于是有徒,延绵不绝,愈演愈烈。

那阿波罗尼的几何真的没用,但是人家就是认为这是一种幸福,这是一种对真理的追求,追求的过程就是幸福。我就是要把这圆锥给切明白了。这哥们就这么牛,他用纯几何的方法研究圆锥曲线,就是今人也不能出其右!听明白没有?就是今人也未能超越他。

后来,后来……后来的情况对华夏很不妙,后来证明阿波罗尼的圆锥曲线的用处太大了。那已经是阿波罗尼去世以后1700年后的事情了。这个世界来到了开普勒和牛顿的时代。天体的运动的奥秘到底是什么,天体是按照什么规律运行的?那可是一个巨大的问题,也就是要猜上帝是让天体如何运动的。继承了开普勒开创的事业,牛顿证明了:任何受与距离的平方成反比的力在保守场中的物体的运动都必须是阿波罗尼曲线中的一种,也就是说:要么是圆,要么是椭圆,要么是抛物线,要么是双曲线。比如我们的地球轨道是很接近圆的椭圆,有些彗星的轨道是抛物线,有些彗星的轨道是双曲线,有些行星的轨道是比较扁的椭圆,有些彗星的轨道是非常扁的椭圆。

当然,这些圆锥曲线还有更加广泛的用途。比如:汽车的车灯反光镜是抛物线旋转形成的抛物面,灯处在这个抛物面的焦点处,射出的光就是平行光,于是射得很远,看起来很亮。否则无人可以在晚上开车,除非你是猫头鹰。

如果把剧场做成椭圆的,你把乐队放在其中一个焦点上,而把听众放在另一个焦点上,听众听到的演奏就如同乐队就在自己的身边。奇妙吗?

你看到的发电厂的散热塔就是双曲线旋转形成的双曲面,这样的形状使得散热最好。

圆,我就不说了吧。反正阿波罗尼就是不切那个圆锥,圆我们还是有的。你瞧咱那天坛多圆,咱们多圆滑?但是除了圆,咱还有别的曲线吗?没有阿波罗尼也会有圆的,但是别的曲线就未必了,而理解别的曲线的奇妙性质就完全不可能了。


我不知道李约瑟是否学过数学和物理,也不知道为李约瑟喝彩的人是否有这些科学基础,我不知道他们如果知道阿波罗尼、开普勒和牛顿是否还胆敢说华夏有过领先的科学。我们必须诚实地告诉世界:我们从来没有研究过圆锥曲线,不要说研究,就是连想一想的胆量都不曾有过。我们应该理直气壮地宣称:这么坑爹的东西咱从来不屑一顾,也没胆量一顾。

咱们现代伟大的数学家陈省身也给了李约瑟一记响彻云霄的耳光。陈省身是中国最伟大的数学家之一,是美籍华人。他在生命的最后时刻,已经无法说话,让人递过纸笔,写下:“我马上要到希腊去报到了。”他认为,希腊是数学的故乡,数学家死后都会去希腊重新集结,继续真理的征程。陈省身是对的。他超越了民族的狭隘,真正理解了真理是没有国界的,是不分民族的。陈省身是中国的骄傲,他证明了华夏人是可以搞数学的,只要我们端正我们的世界观和价值观。


于是我们来到了这些问题背后的原因——自由。自由至上还是以食为天?这是一个问题!这是一个比哈姆雷特的问题更加要命的问题。谁都会背这两句莎士比亚台词:“To be or not to be? This is the question!”(生存还是毁灭?这的确是一个问题!)。比较接地气的翻译是“土逼还是不土逼,这绝逼是一个问题。”我们谁都可以吹嘘在灰常年轻的时候就阅读了“土逼还是不土逼”,但是我敢保证没有几个人能够整明白到底什么是“土逼还是不土逼”,哪怕行将就木他也很可能整不明白,因为他们一直混迹于“土”和“逼”之间不能自拔,最后只能是“土逼土逼的”。这就是为什么华夏不管是“土逼还是不土逼”都没有走上科学的道路。我没有系统地读过莎士比亚,我这样说是因为我很诚实。况且我在农村的时候找遍了所有的可以称作书的东西,发现只有马恩列斯毛的东西。但是我后来整明白了“自由至上”还是“以食为天”是能否走上科学道路的分水岭。

一个以食为天的群体是不可能走上科学道路的。科学的道路布满荆棘陷阱,充满艰难险阻。这是一条求真而不是觅食的道路,任何以觅食为宗旨的群体都会望而生畏,随后落荒而逃。一个自由至上的群体才可能走上科学的道路,一个把自由视作最高价值的群体才可能在科学这条道路上走到底。这就是古希腊人给我们的启示,这也是古希腊人和古华夏人的比较给我们的启示。这是一座严酷的分水岭,追求自由的走向一边,追求食物的走向另一部;勇者走向一边,懦夫走向另一边。

一个“以食为天”的群体肯定会用自由换取食品,这是由他们的价值观所决定的,他们以为牺牲自由获得食物是一个很好的交易。一个没有了自由意志的群体是不可能在追求真理和理性的道路上走下去的。这条道路不会是他们的选择,哪怕阴差阳错上了这条道路,也会很快逃之夭夭,一去不返。

历史和这两种不同价值观的人群开了一个巨大的玩笑,这也许就是上帝的意志,也许就是奥林匹斯山上众神的意志:以食为天的,最终忍饥挨饿找东西吃;自由至上的,永远吃饱了撑着找事情做。

历史一再证明了这点:拿自由换食品,结局是既没有自由也没有食品。以自由为上,却总也不会挨饿,也许日子有时过得艰难,但是前途总是不辜负他们。

正因为有了自由意志,他们也就有求真的执着,不在意是否有用,却在研究屠龙之术中得到幸福感。科学,对他们来说是一种伟大的娱乐,是一种求真的快感,是一种超脱的喜悦。因此,要让他们难得糊涂、以食为天、学以致用,就如同笼子里的鸡向搏击长空的苍鹰宣传养鸡场生活的和谐美满诸多好处。好处显然是有的,只是那不是老鹰们的向往罢了。

这就是为什么华夏没有科学的理由,这就是华夏甚至没有接近过科学的理由。


 楼主| 发表于 3/7/2017 23:35:49 | 显示全部楼层
最近“老毕”这个名字很火,但是此“老毕”不是彼“老毕”,而是那个如雷贯耳的毕达哥拉斯!如果你现在还不知道这个毕达哥拉斯是干什么的,请立即停止阅读,回去重上初中。

说到这老毕,也就是毕达哥拉斯,我气就不打一处来。这小子先是毁了“勾股定理”的华夏发明权,现在又毁了林炎平的音阶发现权。

说到“勾股定理”,中国人都知道。兴许一些人也知道那其实是毕达哥拉斯首先证明的,因此实际上是“毕达哥拉斯定理”,因为这个老毕先给出了普遍的证明:

a2 + b2 = c2

亦即:两个直角边的平方和等于斜边的平方。而我们华夏的祖先只是发现了“勾三股四弦五”,亦即:如果两个直角边分别是3和4,那么斜边就是5。但这只是直角三角形的一个特例,不是普适的充分必要条件。知道“普适”吗?知道“充分必要”吗?都是老毕和这些很二的古希腊人的理念。

老毕肯定是一个有钱的疯子:据说他为了这定理的证明花费了不少心血和时间,完了还宰了100头牛庆祝。你说你证明这干嘛呀?“勾三股四弦五”不就够了吗?再说埃及和两河流域的人更早就已经知道几十种构成直角三角形的边长关系,你费这么多的神整那个普遍的证明干嘛?还宰牛庆祝?不仅疯了,而且不轻。你不懂“民以食为天”吗?整这定理是能吃还是能喝?

老毕是疯子另一个证据是,他居然认为这个世界是由数组成的。他自己疯了还不够,还成立了一个学派,网罗了一群门徒,让大家和他一起发疯。因此他的学派里的弟子也都是疯子。你造吗?老毕有个弟子,觉得当时有关数的理论还不够疯,居然心怀不满。当时认为:所有的正数都可以表达为正整数组成的分数。也就是说,任何小数都可以表达为B/A(B比A)。这看起来很合理啊。比如:

1.5 = 3 / 2

1.33333… = 4 / 3

但这位弟子不这么认为,他有一天终于找到了别出心裁恶作剧的办法,证明了“根号二”不能表达为B/A。你说你和根号二过不去干嘛,不就是证明你比根号二还要二吗?啊?这二哥是这样证明的:

他用的是反证法,反正这个“反证法”也是这些疯子们发明的,这群疯子我们权且叫他们“希腊疯子”,因为那块地方那个时代盛产疯子,而别的地方找这样的疯子极其困难。

假设根号二可以表达为B/A,其中B和A都是正整数而且没有公约数。(假设很逻辑,他们那种疯子的特点就是很逻辑严谨想象力丰富。)亦即:

√2 = B/A

那么

B2 = 2A2

你看见了吗?这公式里一共就6个符号,其中就有三个2,这就足够证明老毕和老毕学派有多么“二”了。好了,这小子继续:

因此,B一定是偶数(B的平方是偶数,那么B当然是偶数),于是可以将B表示为“2b”(b是正整数),你看见了吗?2b!又是一个二,而且是“二b”。无疑“2b”是那个时候开始的。我们继续,上式就变为:

4b2 = 2A2

亦即

A2 = 2b2

因此A也必定是偶数。由于A和B都是偶数,那么它们就有了公约数,于是和我们一开始的假设不符。因此,√2不可能表达为B/A。

结论:根号二不可能是有限循环小数。也就是说根号二是无限的不循环的小数。尼玛!

于是,“无理数”的概念诞生了!

你说这多二啊!简直令人痛心疾首啊!好好的世界就让老毕和他的门徒给毁了。本来好好的只有有理数的世界,从此没了。无理数啊!就这个名字就该多让人痛恨啊?老毕不是疯子是神马?毕达哥拉斯学派不是疯子是神马?那群希腊人不是疯子是神马?

连老毕的另外一些徒弟都看不下去了,他们把这个发现无理数的小子扔进了爱琴海里,喝饱了水才捞上来,不知算是惩罚还是奖励,反正总归很二就是了。

但是世界上可能只记得疯子的事情,弄得2600年后的今天我们每人都学过这个证明,不过我们没有他那么二得不成样子,基本上学了也就忘记了。我们又回归正常了,又“民以食为天”了。记得以上证明的童鞋们请举手!没有?基本没有?这就对了。回去补习吧!

自从知道“毕达哥拉斯”定理后,我就恨上了老毕和古希腊。你整这个没用的干啥?你要是不整,700年后的东汉赵爽的证明不就拔了头筹吗?那样,“勾股定理”不就会是华夏的了吗?啊!
 楼主| 发表于 3/8/2017 00:30:26 | 显示全部楼层
中国人的脑子被“形象”局限了。文王、老子,谈,阴阳雌雄。

庄子谈虫子、大粪、大鹏里有“道”。为什么大粪是道?因为大粪帮助庄稼成长丰收。可见,中国的“道”就是生产、生殖等日常生活的“生”。既然大粪有“生”之“道”,所以,中医提倡吃屎喝尿!

中国人没有超越“生”的精神追求。希腊人超越了日常生活进入了精神生活——科学、宗教、戏剧、奥运会。正是这种超越性的追求成就了法治民主。
 楼主| 发表于 3/8/2017 00:47:36 | 显示全部楼层
亚历山大里亚的欧几里得(希腊文:Ευκλειδης ,约公元前330年—前275年),古希腊数学家,被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前323年-前283年)时期的亚历山大里亚,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,提出五大公设,发展欧几里得几何,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基人。

除了《几何原本》之外,欧几里得还有另外五本著作流传至今。它们与《几何原本》一样,内容都包含定义及证明。


《已知数》(Data)指出若几何难题图形中的已知元素,内容与《几何原本》的前四卷有密切关系。

《圆形的分割》(On divisions of figures)现存拉丁文本,论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分,内容与希罗(Heron of Alexandria)的作品相似。

《反射光学》(Catoptrics)论述反射光在数学上的理论,尤其论述形在平面及凹镜上的图像。可是有人置疑这本书是否真正出自欧几里得之手,它的作者可能是提奥(Theon of Alexandria)。

《现象》(Phenomena)是一本关于球面天文学的论文,现存希腊文本。这本书与奥托吕科斯(Autolycus of Pitane)所写的 On the Moving Sphere相似。

《光学》(Optics)早期几何光学著作之一,现存希腊文本。这本书主要研究透视问题,叙述光的入射角等于反射角等。    对!
 楼主| 发表于 3/8/2017 01:06:10 | 显示全部楼层
欧几里得生于雅典,当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得,当他还是个十几岁的少年时,就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。

一天,一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着,门口挂着一块木牌,上面写着:“不懂几何者,不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩,为的是让学生们知道他对数学的重视,然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想,正是因为我不懂数学,才要来这儿求教的呀,如果懂了,还来这儿做什么?正在人们面面相觑,不知是退、是进的时候,欧几里得从人群中走了出来,只见他整了整衣冠,看了看那块牌子,然后果断地推开了学园大门,头也没有回地走了进去。

“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。在学园里,师生之间的教学完全通过对话的形式进行,因此要求学生具有高度的抽象思维能力。数学,尤其是几何学,所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关,但是又不来自于这些具体的事物,因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。

柏拉图甚至声称:“上帝就是几何学家。”这一观点不仅成为学园的主导思想,而且也为越来越多的希腊民众所接受。人们都逐渐地喜欢上了数学,欧几里得也不例外。他在有幸进入学园之后,便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索,以继承柏拉图的学术为奋斗目标,除此之外,他哪儿也不去,什么也不干,熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿,可以说,连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究,他得出结论:图形是神绘制的,所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中。因此,对智慧训练,就应该从图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨,并开始沿着柏拉图当年走过的道路,把几何学的研究作为自己的主要任务,并最终取得了世人敬仰的成就。
 楼主| 发表于 3/8/2017 01:51:16 | 显示全部楼层
       
泰勒斯访问过埃及,研究过埃及的土地丈量术,并由此创立了初等几何学。他还根据巴比伦的天文知识,奠定了希腊天文学的基础。他计算出一年有365天,发现了小熊星座,并根据天文学和气象学知识预言一年的农业收成。他曾预测一次日食,促使米底(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争,多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高,使法老大为惊讶。

阿那克西曼德(Anaximander,610~546 BC.) 是泰勒斯的亲戚和学生,他绘制出第一张地图,制造了第一个天球仪和计时器;他提出月亮的光是对太阳光的反射,太阳是一团火。

提出大地是球体的第一人乃是古希腊大数学家毕达哥拉斯(前580年—前500年)。毕达哥拉斯学派利用数学关系来解释自然现象,他们从球是最完善的几何体出发,认为地是球形的,同时认为天体运动甚至音乐也应该服从数学规律。他们发现月亮总是以同一面对着地球、晨星和昏星就是同一个星。毕达哥拉斯学派认为宇宙是一个包括各种天体的大圆球,中心有一个火球,圆形的太阳和大地绕中心火球作均匀圆周运动,这种关于天体整体运行的推测为太阳中心说奠定了基础。这就表现出一种了不起的摆脱了人类中心说的思想解放。

阿那克萨哥拉发现月亮是一堆石头、是由于反光而发光的,他认为月蚀的真正原因在于地球对太阳光的遮挡。为此,他被雅典人判处死刑而逃走。

萨摩的亚里士达克(Aristarchus,前310~前230)比哥白尼早一千多年提出“太阳中心说”。他第一个尝试测量地球和太阳之间的距离,并正确提出地球的面积小于太阳,他还测出了太阳和月亮的大小以及它们之间的距离。


阿波罗尼奥斯(古希腊语:Ἀπολλώνιος)(约前262年至前190年),又译为阿波罗尼乌斯,阿波罗尼等,生于小亚细亚南岸的佩尔加,古希腊几何学家。著有《圆锥曲线论》八卷,《论切触》(Ἐπαφαί)等。

在他的八卷本《圆锥曲线论》(第八卷失传)中,提出:

以不同方向平面切割固定圆锥面来得到不同类型圆锥曲线;将双曲线两支视为同一曲线;展示同一圆锥曲线可以有各种建构方法而性质不变;讨论了圆锥曲线的交点和交点数、过定点的法线、相同和相似圆锥曲线、椭圆和双曲线的共轭径等;发现椭圆不同共轭径平方和或双曲线不同共轭径平方差是常数等。

这些工作为一千八百多年后开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学基础。

代表著作
《圆锥曲线论》是一部经典巨著,它可以说是代表了希腊几何的最高水平,自此以后,希腊几何便没有实质性的进步。直到17世纪的B.帕斯卡和R.笛卡儿才有新的突破。

《圆锥曲线论》共8卷, 前4卷的希腊文本和其次 3卷的阿拉伯文本保存了下来,最后一卷遗失。此书集前人之大成,且提出很多新的性质。他推广了梅内克缪斯(公元前4 世纪,最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家)的方法,证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得,并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标,过顶点的垂线作为纵坐标,这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解释太阳系内5大行星的运动时, 提出了本轮均轮偏心模型,为托勒密的地心说提供了工具。
 楼主| 发表于 3/8/2017 02:53:02 | 显示全部楼层
古希腊人贡献给了人类出类拔萃的建筑艺术,至今几乎所有庄严的建筑都情不自禁地以不同的方式融入古希腊的形式,体现着古希腊的风格。欧洲自然如此,新大陆的北美也不例外,世界各地也普遍可见。然而,物质上的建筑仅仅是古希腊给予人类的伟大遗产中非常小的一部分,古希腊最大的贡献是精神上的建筑。在这伟大的精神中,有着“科学”和“民主”和公民精神。中国只有“逃民”(孔子无道则隐,老庄提倡做乌龟)。亚里士多德这样精辟地阐述了“公民”的含义:公民不仅仅是权利,而且是责任;公民不仅仅是法律赋予的地位,而且是内心领悟的高度。一个人如果不能在一个国家中享有权利和负有职责,那么就不是一个完整的公民,当然,这也就不是一个合理的国家。

科学、民主、公民,绝不是随着物质进步而自然会产生的理念。在距今两千五百年前的伯里克利时代的古希腊,强大的波斯帝国的版图远远超过古希腊,富裕的程度也远远不是古希腊可以比拟的。但是当波斯人到了古希腊的雅典,即便通过翻译也无法听懂一些古希腊的术语,甚至那些精通希腊语的波斯人也无法理解这些理念。这些理念包括了“民主”、“自由”和“公民”,那些波斯人对这些名词的含义一头雾水,因为,他们的社会、他们的经历和他们的生活中从来没有过这样的理念和体验,更没有这样的实践。

真的有普适于所有的人类、所有的时代和所有的地区的价值准则吗?古希腊奥林匹克运动会所体现的奥林匹克精神也许就是上述准则的一个诠释。

竞争精神本身就有公平的含义。竞争不是倾轧,不是争斗,而是努力发挥自身的潜力,实现自身的价值。古希腊的奥运会就是竞争的最好的表现。但是竞争在东方,比如在中国却不能得到肯定。“出头的橼子先烂”“木秀于林风必摧之”等等说教不一而足,体现了竞争在中国的被忌讳,这也许是由于一切竞争都最后演变成了你死我活的斗争。为了避免这个结局,于是就“中庸”,不许竞争,结果又为了压制竞争而打得头破血流。奥运会所倡导的在公平和公正条件下的竞争,华夏不曾有过,至今仍然是一个遥远的向往。

公平的自由竞争是创造力之本,是创造力不竭的源泉,无论是哲学、科学,还是文化、艺术!

商鞅、韩非之流强调的所谓:国家就是要做老百姓痛恨的事情,国家就是要愚民,国家就是要限制老百姓自由流动、自主择业,国家就是不能让老百姓富有……这些富国弱民、领袖至上的言论,还在我们今天的现实政治中发挥着巨大作用。正是由于思想专制的出现,才造成了中国文化、思想的被阉割。

在东罗马帝国灭亡前后,即拜占庭帝国首都君士坦丁堡陷落(1453年)先后,大量的学者、书籍开始进入西方,尤其是进入了当时意大利的各商业城邦国家,如威尼斯、佛罗伦萨等,从而促发和推动了文艺复兴时期的到来。

文艺复兴运动的出现,不能不说是与意大利各城邦国家的这种小国寡民、商业繁荣的自由环境有密切关系的。而中国,既没有出现过如希腊罗马一样拥有哲学、科学的高度文明,自然也谈不上什么复兴不复兴,只能老老实实地学人家。
 楼主| 发表于 3/9/2017 01:06:58 | 显示全部楼层
        中国连科学精神都没有,怎么会有科学?       
       
编者按:本文节选自邓晓芒老师的《中国百年西方哲学研究的十大文化错位》第六个话题,主要澄清了我们对西方"科学"的"实用化"理解,反而把科学最核心的内在精神扔到一边。

我们把科学变成一种实用的东西,就是技术嘛。西方的科学,英文的science,德文的Wissenschaft,它们的词根都有“知识”的含义,都是一种知识。

在西方呢,都起源于哲学,也就是“爱智慧”,西方的科学起源于“爱智慧”。
那么,说“爱智慧”呢,就是以追求真理作为生活的一种方式。哲学家,爱智慧的人,他的毕生的追求目标就是追求真理,就是爱真理、爱智慧。
所以它最初与实用没有必然的关系,西方的科学最初是不实用的,而且是拒斥实用的,不打算实用的。
他们把“实用”看作是低层次的东西。比如说柏拉图,柏拉图的学园就明确地反对把几何学用在实际的测量当中。
几何学哪里是为了测量嘛。测量术在印度、巴比伦、埃及,都非常发达的,我们说古希腊的几何学同样受周边几个古老文明的高度发达的几何学、数学思想的影响,但是古希腊人有一个特点,他把这些数学的东西接受过来加以发展,而且朝着一种非实用的方向发展。
比如说欧几里德几何,欧几里德几何完全是为了一种理论兴趣。
你如果说实用的话他用不着搞出什么《几何原本》,搞一个体系出来。他只要掌握那些定理,一些记忆力好的人把它记下来,运用在某个具体的场合之下,就够了。东方历来是这样搞的,埃及也是这样搞的。
但希腊人在这方面作了一种非实用的,超功利的这样一种理解。在柏拉图的学园里面,据说曾经有一个学生问柏拉图:你的学问有什么用?柏拉图就给他个银币,叫他开路。
在伊壁鸠鲁和斯多亚派那里呢,对自然的知识的追求,最终还是要达到自己“不动心”的这样一种境界,哲人的境界,但是也没有什么实用的考虑。
伊壁鸠鲁的原子论,原子在宇宙中的运动,等等,这些东西都不是求实证的,也不是求实用的,就是为了使自己安心,达到一种哲人的超越的境界。它是一种生活方式,一种生活态度。
到了中世纪,知识更加是如此。中世纪的知识,甚至有一些科学的早期形态,比如说炼金术等,其实这些知识中世纪的人主张都是为了上帝的信仰,本身不是为了实用。
当然,最后肯定有实用的目的,比如说炼金术为了给教皇聚敛财富,于是去进行早期的化学试验,做各种试验。但是对于这些炼金术士来说,寻找哲人之石、寻找炼金方法啊,实用的考虑倒是其次的。
他们还是要追究物质的秘密,上帝把什么样的秘密隐藏在物质里面了?我们能不能把它发现出来?所以他们还是为上帝的信仰服务的。
那么这种哲学,也就是本来意义上的科学,按照亚里士多德的说法,它确实是起源于人的惊奇感、惊异。
哲学起源于惊异,起源于好奇心,如同审美似的一种生命冲动。这是属于人的本性里面的。哲学的这种起源也就是科学的起源,科学精神里面就包含有哲学的层次。
到了近代的科学,虽然它发挥了巨大的实用价值,但是它的科学精神仍然是立足于这种好奇心,仍然是立足于亚里士多德所讲的这种惊异感,也就是对真理本身的一种热爱和追求。

人都有这样一种自发的冲动,孩子从小就已经表现出来了,只要你不把它压抑下去,那么它就会发展成为一种科学精神,这就是科学精神。

我们古代有科学技术但是没有科学精神。“五四”以来,我们对西方的“赛先生”加以引进,但是没有注意到这些方面。我们从来都是从有用和无用的角度来看待科学。
比如说20世纪20年代,科玄论战,科学与玄学之战,它的主题就是:科学能否解决人生观的问题?或者说,科学是否万能?那么反对科学派的玄学派就讲,科学不是万能的。
科学不是万能,我就把它抛弃了,或者就把它贬低了,但前提就是说,他们需要一个万能的东西。玄学是万能的,科学不是万能的。玄学派方面是这样理解的。那么科学派方面呢?
相反,科学派就认为,科学是万能的,科学的那些问题,也要拿到科学本身的基础上加以解决,它们是可以解决的。
张君劢认为科学不能解决人生观的问题,丁文江和胡适等人呢,就认为可以,而且必须把人生问题、社会问题、精神问题都纳入到科学的范围内进行考察,不能够允许“玄学鬼”在这里立足。
他们把玄学派称之为“玄学鬼”,说他们是一种迷信,一种非科学的东西。那么前提就是说科学是万能的。
既然说是“万能的”,也就是说科学是一种工具。由于科学是一种万能的工具,所以科学派必须坚持它;而由于科学不足以成为一种万能的工具,所以玄学派要贬低它。
他们的前提是共同的,都是要寻找一种工具。那么,双方的这种理解,都是对中国传统的一种继承,就是对客观知识的一种理解。
玄学派继承了中国历来对客观知识的一种蔑视态度。中国的宋明理学不说得很明白吗?“闻见之知”那只是小知,大知就是“诚明所知”。
“诚明所知”呢就是道德,道德知识那是最高的,诚则灵。至于“闻见小知”,“耳目之知”,或者是对自然科学的那种知识,那是不值得追求的,它不能够解决我们的道德问题。
所以,玄学派是继承了中国传统的这一方面,把科学看作一种具体操作层面的东西。当然它是有用的,但仅仅是操作层面上的一些雕虫小技,“奇技淫巧”,这在中国传统的语境里面当然是个贬义词了。
你搞得很巧,如此而已。但是西方近代由于显示了这种“奇技淫巧”的威力,迫使我们不得不重视它。
所以科学派就抓住这个东西了,就认为它是万能的,它能解决一切问题。所以这一场论战,我们通常认为是科学派取得了胜利,胡适,丁文江这些人取得了胜利。
但是这种胜利不是因为在理论上占了上风,理论上并没有占上风,而是当时时代的迫切的需要,是科学的工具作用压倒了对生命的个人的沉思,压倒了玄学。
玄学有什么用呢?我们现在面临着亡国灭种的危机,当然要用科学,当然就要把一切都纳入科学的范畴里面,一切问题都放在这里面来加以解决。

正是由于这种实用主义的需要才使得科学派得到了胜利,但在理论上并没有澄清问题啊,甚至没有跟玄学派划分界限。

你科学派和玄学派划分界限了吗?实际上你不是科学派,你只是技术派,当时的科学派实际上是技术派,如何让这种技术能更高一点,不是那种具体物质层面上的技术,而是“救国”、“保种”的高等技术。但是科学精神你继承了多少呢?可以说没有。
科学精神完全是出于对真理本身的兴趣,为真理而真理,出于一种对知识的惊异感,一种自由的探索的精神。这一点在科学派里面呢,实际上也是非常微弱的。
所以西方科学在传到中国来的最初阶段,实际上处在一种“夹生状态”。就是说我们知道西方的科学很厉害,但是西方的科学精神我们并没有理解到,我们还是以中国传统的实用主义角度来看待西方的科学问题,所以我把它称之为“夹生状态”。
中国人对科学的这种解释,始终没有脱出实用主义的窠臼。我们上次专门谈到实用主义的理解,已经讲到这一点了。
科学有用,所以有用的就是科学。我们讨论“实践是检验真理的标准”也很容易滑向实用主义的理解。“实践是检验真理的标准”,那么凡是实践检验是成功了的,那就是科学的。

这种理解跟传统的迷信有什么区别呢?迷信也是因为它有用、它“灵”,才有人迷信它,并不是无条件地迷信。

我求神拜佛,有效的我才去求,没有效的我就不拜了。我换一个,我到另外一个庙里去。如果有效了,实践检验是真理了,那肯定有效,下次我还到那里去。所以,“实践是检验真理的标准”要看在什么语境下说。

如果你还是处于传统实用主义的语境的话,那跟迷信并没有什么区别。所以,马列主义之所以是“科学”的,在我们看来,也是因为它在中国革命实践中导致了成功。

至于这一科学它的真理体系到底是什么,没有人关心,没有人感兴趣,没有人有好奇心。
讲了这么多年的马克思主义,谁有好奇心为了看他的原本去学点德文,把他的原著拿来看一看,有没有这种好奇心呢?有没有这么搞马克思主义的?好像没有,好像一个都没有。
你为了学马克思主义去学德文,你把原本拿来看一看,看看翻译错了没有,看看我们的理解,我们的解释错了没有,看马克思有没有一些话跟我们现在流行的马克思主义者讲的那些话相冲突?没有人有这种兴趣。所以它是完全实用主义的。
科学在今天被称为“第一生产力”,更加成为了一门技术。它是生产力啊,生产力是什么?生产力当然是一门技术了,科学技术是第一生产力嘛。
真正的科学精神已经丧失殆尽。我们的科学为什么不发达?为什么没有创新精神?因为没有兴趣嘛。什么叫创新精神?创新精神、自由的研究是建立在兴趣之上的,建立在好奇心之上的。
你不好奇怎么能创新呢?你一切都是别人已经说过了,我只要把它搬过来就是了,那怎么能创新呢?所以科学精神丧失以后,这样的科学就更加不适合作为一种安身立命的人生观的基础。
这就是对西方的科学精神的偏离。这种偏离就导致了人生观的基础中,科学是一个空白。
所以就有非理性主义、东方神秘主义、新儒家、新保守主义来填补这个空白。
安身立命的地方你没有把科学精神放进来,那肯定就把别的精神放进来了,把非科学的精神放进来了。
发表于 3/27/2017 19:41:55 | 显示全部楼层
樊梨花 发表于 3/8/2017 00:30
中国人的脑子被“形象”局限了。文王、老子,谈,阴阳雌雄。

庄子谈虫子、大粪、大鹏里有“道”。为什么大 ...

Democracy, according to a leading scholar's study, the idea come from the east rather than Greece, as to the rule of law, should come from where the God is super power, that is, the God is the supreme power in the universal, the purpose of the rule of law is for the justice, and the justice is the most top values of a fairness society.
 楼主| 发表于 3/28/2017 18:12:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 樊梨花 于 3/29/2017 02:02 编辑

1.数学理性的萌芽产生于毕达哥拉斯学派。这个学派的核心思想是数及数的和谐是万物的本源。实在的东西是自然界存在的数学和谐,任何物的最终结构或最终存在就是它的数学形式,数是人类思想的向导和主人,没有它的力量,万物都处于昏暗混乱之中。这样,毕达哥拉斯学派第一次从自然哲学的角度,通过对万物构成的研究,通过对世界结构的认识,明确地提出了宇宙是一种几何结构的概念。正是由于毕达哥拉斯学派首次提出了宇宙的基本是单位的概念,后来才在留基伯和德谟克利特的原子论中得到了物理的表述。也正是由于毕达哥拉斯提出了点、线、面、体的概念才导致了后来数学的分化及欧式几何体系的问世。世界著名科学史家沃尔夫说,近代科学的开创者们满脑子都是毕达哥拉斯主义精神。哥白尼和开普勒十分强调太阳中心说的数学上的和谐性和简单性,以为这就是太阳中心说所以是真理的最好证据。伽利略的宣言也是那么的掷地有声:“哲学写在这部宏伟的书(我指的是宇宙)中,这部书始终对我们开放着,但它很费解,除非人们首先学会理解这部书所使用的语言和解释这部书所使用的文字。它是用数学语言写的,它的文字是三角形、圆以及其他几何图形,没有这些图形,人们甚至根本不可能理解这部书中的一个词。数学理性的产生发展使人们对自然界的把握从定性理解转为定量描述成为可能,而近代科学始终坚持尽可能精确定量的描述和定律的理想。

    2.亚里士多德是理所应当的逻辑理性的奠基人。在希腊早期自然哲学时期,泰勒斯等人往往从可观察到的现象直接跳到本体论的高度去解释世界的本原和变化。这种解释的方法是直观、类比和思辨。而到了希腊科学的黄金时代,理性抽象和逻辑方法的发展及其相互结合,为寻求事物和过程背后的本质和原因提供了有力的思想武器,大大增强了自然哲学的地位和解释能力。尤其在形式上确凿无疑的形式逻辑及其三段论法的创立人,亚里士多德那里,逻辑学和柏拉图的理念直接汇合,构成了逻辑理性的解释方式。在这种解释方式中,通常的研究路线是从对于我们来说是较为易知的和明白的东西进到对自然来说是较为明白和易知的东西。而根本原则是用逻辑方法寻求理性上可靠的解释。亚里士多德对于科学哲学最大的贡献是他关于科学理论结构的思想。他认为,一门科学技术由演绎法组织起来的一组陈述,科学作为演绎系统应满足3个条件1)公理和定理具有演绎关系,(2)公理本身是不证自明的真理,(3)定理和观察结果相一致。尽管他关于科学是演绎系统的理想在他的时代没有实现,但是在后来欧氏几何学和阿基米德力学中得到了体现。几何研究和逻辑研究的结合,是古希腊逻辑理性发展的一大特点。一方面,几何学赋予了逻辑学研究以纯形式证明系统的思想,使古希腊人对逻辑推理规则的研究就跃出了论辩本身,专门就抽象形式的方面展开讨论。正如克莱因所说的:“希腊人在搞出正确的数学推理规律时就已奠立了逻辑的基础,但要等到亚里士多德这样的学者才能把这些规律典范化和系统化,使之形成一门独立的学科。另一方面,逻辑学赋予了几何学研究以演绎的构造,完善了几何证明的推理工具,即希腊人对数学的最重大贡献是坚持一切数学结果必须用演绎法推出。正因如此,在亚里士多德逻辑学创立半个多世纪以后,欧几里德将各个孤立的几何证明系统发展成统一的公理化体系。不管欧几里德几何学这座科学宫殿多么富丽堂皇,其全部结论都是从少数公理经过演绎而来的,是逻辑理性的成功运用。

    值得注意的是,逻辑理性精神在中世纪非但没有被消弱,反而得到了加强。

    3.西方实验理性的鼻祖当属叙拉古的阿基米德。他的工作比任何别的希腊人的工作都更具有把数学和实验研究结合起来的真正现代精神。在结合的时候,只解决一定的有限的问题,提出假说只是为了求得它们逻辑推论,这种推论最初是用演绎方法求得的,然后又用观察或实验方法加以检验。杠杆原理和以他名字命名的浮力原理即阿基米德原理是举世公认的科学成就,分别构成刚体静力学和流体静力学的基础。注重实验、注重技术、注重应用是阿基米德科学活动的特点。近代的达芬奇是阿基米德的崇拜者,伽利略则以阿基米德的继承人自居,尽管工艺传统在古希腊受到蔑视,但是这种实验理性精神到了近代却成了自然科学的精髓。

    近代科学的三大方法论巨匠培根、伽利略、笛卡尔开创的方法进行研究和探讨,就很容易找到上述古希腊科学理性精神的影子,近代科学的方法论基础恰恰是古希腊科学因素融合创新、批判扬弃而生成的新质。

    首先,经验论哲学家弗兰西斯?培根融合了逻辑理性和实验理性,建立了系统的科学归纳法(即排除,归纳法)。一方面,认识自然的基础是实验,必须抛弃经院哲学本身,坚持根据实验观察结果去解释自然,一切比较真实的对于自然的解释,乃是由适当的例证和实验得到的。另一方面,认识自然的方法是归纳。经过收集资料、三表整理、抽象概括、寻求解释这样四个步骤,就可以依次从感官与特殊事物把公理引申出来,然后不断上升,最后才达到最普遍的公理

    其次,唯理论哲学家笛卡尔继承了古希腊以来的直观归纳法、演绎方法和数学方法,创立了假说,演绎法。他认为,人们只有在普遍怀疑基础上,根据由心的直观力量即理性直观得到的公理作为大前提,按照数学中那样严密的演绎推理,才能认识自然界的真理。在他看来,科学方法的实质就是,建立一些确切而简单的规则;严格地遵守这些规则,就会永远避免把虚假当成真实,就可以不耗费很多心力而逐渐不断地扩充知识,而且可以帮助心灵去真正地认识它所能认识的一切。

    第三,伽利略在希腊化时代重视经验传统的基础上,创立的实验,数学方法,

则是对数学和实验理性的综合运用。这主要体现在他在力学研究中如斜面实验等思想实验上,在斜面实验得出惯性原理的研究中,他不可能真的做一个无限长的斜面。于是,伽利略就采用了抽象的方法,想象的方法,逻辑推论的方法,弥补了实验条件的限制。动手和动脑,是科学研究中不可缺少的两个方面。古希腊时期的学者忽视了工匠传统,而古罗马的学者则忽视了学者传统。在伽利略这里,两者达到了一定程度上的结合。

    从方法论角度可以说,近代科学既有对于古希腊科学的扬弃,更有对其理性精神的继承。所以,如果没有古希腊文化,那么近代的自然科学的兴起就要大大推迟。                       
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