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楼主: 樊梨花

[国学论道] 诸子百家给欧几里德拎草鞋都不配!

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 楼主| 发表于 3/29/2017 01:43:18 | 显示全部楼层
“吾爱吾师,吾更爱真理。”这是亚里士多德的一句名言,在中国也被反复引用。这句话的含义:感情不能等于真理,师尊不能取代批判。这比批判外人和批判自我(即反省)需要更大的勇气,因为需要面对来自各方面的重压,以及来自内心感情上的责难。在这里,柏拉图和亚里士多德为“批判精神”做出了最好的诠释。

    继承,在古希腊意味着超越、发扬光大,甚至分道扬镳。苏格拉底(图6 - 1)、柏拉图(图6 - 2)和亚里士多德(图6 - 3),这三位古希腊哲学巨匠,也是三代嫡系师生。在国人看来,既然是三代师生,那么应该是一脉相承从无分歧。但事实上,亚里士多德和柏拉图在哲学见解上的分歧是很严重的。

    我们不必讨论柏拉图和亚里士多德到底谁的见解更加正确,应该注意的是亚里士多德对于别人责难他对老师的批判时,他的回答之坦然而自信。他残酷地假定老师的教导和真理不吻合,并且坦承此时作为学生应该采取的态度。实际情况也正是这样,亚里士多德不是象征性地对自己的老师进行批判,也不是指出具体的哪个细小的问题,而是从根本上和自己的老师有分歧。其争论之激烈,我想任何中国的师生都受不了。但这并没有影响古希腊这两位师生的关系。对自己的导师苏格拉底顶礼膜拜的柏拉图,面对自己离经叛道的弟子亚里士多德却毫不介意。

   

    图6-1  苏格拉底

   

    图6-2  柏拉图

   

    6-3  亚里士多德

    爱利亚学派在古希腊的学术上并不占很重要的地位,但是其著名门徒芝诺(Zeno of Elea,公元前490-425,图6-4)的一些悖论却由于其独到的批判和诡异的特点永垂青史。他的一个非常经典的悖论就是阿喀琉斯无法追上乌龟。阿喀琉斯是古希腊神话中伟大的神之一,要用这样的神来开涮,在其它的宗教里是不可想象的。这个悖论的本身也非常有意思,阿喀琉斯是神,速度比任何凡人要快得多,但是芝诺仍然证明他无法追上乌龟。理由是,当阿喀琉斯开始追赶的时候,前面乌龟也开始跑了。当阿喀琉斯跑到了乌龟原来所在的位置的时候,乌龟已经向前跑了一小段距离。当阿喀琉斯再跑到乌龟目前的位置时,此乌龟又向前跑了一小段距离。于是,这样的过程可以无限重复,无限地继续下去。

   

    图6-4  芝诺

    这是一个看来可以用极限理论来解决的问题,但是实际上要比我们想象的复杂得多。芝诺有类似的四个悖论,每个都看来荒唐诡异,但却困扰了科学家和哲学家数千年,至今我们仍然不敢说已经彻底地解决了芝诺悖论。这样的困难使得芝诺悖论看起来成为一个搅局的东西,但是在欢迎百家争鸣的古希腊学术中,尽管这样的批判可能一时不被接受,但是显然在整体上受到了容忍而且赞赏。

    在东方,则不然。继承是顶礼膜拜、粉饰和抄袭。于是,以上在古希腊被完全宽容和鼓励的行为,在东方毫无例外都会被视为违逆纲常犯上作乱,甚至导致行为者被逐出山门。批判遥远的他人,在东方可以被容忍,但是要针对尊长,批判自己的小圈子,那可就不行,师道尊严神圣不可侵犯,“家丑不可外扬”是一条铁的纪律。一旦上升到对于小圈子的批评,那更是“兄弟阋于墙,外御其侮”,一致对外,同仇敌忾,绝难善了。学派和团体之内的批判,以及一个国家内部的批判,一个政党内部的批判,这些在具有古希腊传统的西方是极其正常的。但在东方国家,情况就大不相同,普遍缺乏批判和自省的能力和勇气。

    批判,对于古希腊人来说习以为常。古希腊人常到国外去旅行,其阅历之丰富令其它民族相形见绌【3】。古希腊人在旅行时总是带着怀疑的精神、批判的眼光来进行观察。他们探究一切事物,将所有的问题都搬到理性的审判台上加以考察。古希腊人的特征可以归结为:虚心、勤于思考、渴求学习、富有常识。

    苏格拉底和柏拉图明确宣称“未经考察的生活是不值得过的”。因此,在古希腊进行政治批判就顺理成章,那些古希腊的剧作大师们,对于时事政治的针砭肆无忌惮。欧里庇得斯(Euripides,公元前480-406,图6-5)支持给予奴隶和外国人更多的权利,主张妇女解放,抨击战争,严厉批评了政府当时的政策。阿里斯托芬(Aristophanes,公元前446-386,图6-6)更加激烈,他的喜剧充满对时事政治的讥讽,他在《吕西斯忒拉忒》中描述了雅典和斯巴达的妇女厌恶雅典和斯巴达之间的战争,她们约定如果不结束战争就不和她们当兵的丈夫过性生活。剧情诙谐幽默,令人捧腹,在笑声中对政府的政策提出了尖锐的批判。雅典政府对此绝不干涉,须知当时雅典正处在和斯巴达的严酷战争中,这样的气度,就是二战中最民主的国家也望尘莫及。

在继承了古希腊传统的西方,批判是极其正常的事情。自然科学的发展离不开批判,社会科学也不例外。在西方,批判是平等的,批判者从不杀气腾腾,被批判者也心平气和。但是到了东方就不行了。被批判者总觉得批判者别有用心,于是被批评者一旦可能便非置批判者于死地不可。批判变成了利益和权力斗争的工具,成了置人于死地的手段,接受批判成了对于罪名的默认;于是“自我批判”(即“自省”)成了苟延残喘的伎俩,成了寻求宽恕的乞求。

加拿大的“全国新闻”,从不赞美政府,政府干的好事基本不提,因为觉得这是政府的工作,做好了是应该的,而做不好挨骂也是应该的,于是,对政府的问题和缺点,不厌其烦细细道来。因此,“全国新闻”几乎没有好消息。我刚到加拿大时,发现新闻里不是职工失业,就是房屋失火,要不就是交通事故,最多的就是批评政府政策不当,连篇累牍不绝于耳。如果不熟悉西方的自我批判精神,会以为简直是世界末日了。只是第二天早上走到大街上,融入到那个社会里,才发现原来天下如此太平,社会如此公正,生活如此轻松。
加拿大政府在过去(1885年)曾经以叛国罪判处了加拿大梅蒂人(英法人和当地印第安人的后裔)Louis Riel死刑。LouisReil为了梅蒂人的利益以武装暴动反叛加拿大政府,在当时看来他“罪有应得”。但是后来,加拿大政府意识到,当时的加拿大政府没有很好地代表梅蒂人的利益,因此梅蒂人的暴乱是可以理解的,而Louis Riel为梅蒂人争取权益的行为是高尚的。因此,加拿大政府追认LouisRiel为英雄。
加拿大政府不久前对加拿大华人就一百年前的人头税法案进行了道歉和赔偿。当时加拿大的法案在于限制华人的入境,于是对每一个移民加拿大的华人征收入境税,而其金额远远高于其他欧洲移民。对于一个在那个时代的特殊环境下出现的不公正,虽然有很多的理由和因素促使其所以然,但是加拿大政府还是在一百年以后以非常坦荡的胸怀和态度做出了道义上的道歉和经济上的补偿。这样的行为是需要智慧和勇气的,这样的反省绝不容易。
就在我写这些文字的时候(2008年),加拿大政府对于一百多年前对于印第安人寄宿学校政策事件给予了正式道歉。加拿大政府在19世纪70年代强制土著印第安人的子女接受现代教育,而这些印第安子女有许多在寄宿学校里没有得到很好的照顾,有的甚至受到了虐待。这样的事情,完全可以解释成为了印第安人的下一代的利益和他们的长远利益,即便有问题也是好心办坏事。但是加拿大政府没有这样找借口,而是勇敢地承认了自己的过失。
一个政府,能够审视自己和前任的过失,进行深刻的反省,这不能不让我钦佩。任何人都会有过失,任何团体和政府也一样。对于自己的过失的态度可以是文过饰非,也可以是深刻反省;可以是钳口压制,也可以是坦然以对。加拿大之所以是一个非常宽容和正直的国家,就是由于她有如此理念的人民和由他们选出的政府。加拿大,不仅让我感到道义上的归属,而且给了我深刻的道义影响。
严于律己,宽以待人,这是上古流传的圣人教诲。中国曾崇尚自省。早在先秦时代,儒家就非常看重自我反省,把这作为修身齐家治国的起点。子曰:“吾日三省吾身,为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?”(曾子说:“我每天在三方面反省自己:为别人做事,是否尽心、忠实?和朋友交往,是否真诚?对老师所传授的知识,是否认真复习?”)
曾子的自省正是后世国人所缺乏的,我为华夏曾经有过这样勇敢的自省而骄傲。但是中国的自省还不是批判。不幸的是,绝大多数华夏的自省是为统治者服务的,它们都是一个意思:自己是否与上级和教条保持一致了。这就是华夏“自省”的现代表达,这就是中国式自省的基本内容。而批判,实际上并不存在。不允许批判的自省更像是对上祷告和自我审查,而不是对于真理的追求。因此就不难理解,曾子三省中的最后一省只是反省自己尽心学习导师的传授,而绝不是质疑导师的教导。
中国式的反省不鼓励批判,更加忌讳对于权势的批判。这实际上就把一个社会变成了像是一个没有泄气阀的锅炉,一直静默到爆炸。而到了爆炸的时候,就不是批判,而是你死我活的斗争了。你死我活完了以后,这个怪圈继续运转,直到下一次你死我活。而真正的反省,无论是作为个人还是集体,都同样困难。
我在读研究生的时候,曾经在中国科技大北京研究生院听过著名美籍华裔数学家陈省身的一个讲演。他有一句话我记得非常深刻,当时出乎意料。他说:美国没有种族主义,只要你优秀,你就可以得到承认。在美国两百周年国庆的时候,他作为唯一的数学家代表美国出访欧洲参加庆祝美国建国两百周年的学术活动。一个亚洲人,在一个欧洲后裔占多数的国家的两百周年国庆作为唯一的数学家代表访问欧洲,这样的信任和承认无疑出于真诚和信念。
陈省身如此对美国的评价,实际上是对一些总是把自己的挫折归罪于他人和环境的说法的批判。
1644年,中国改朝换代人吃人。英国,约翰·弥尔顿(John Milton)对英国议会作了题为《论出版自由》(Areopagitica)的讲演【4】,他的讲演稿的扉页引文源自古希腊剧作家欧里庇得斯的剧作《恳求的妇女》(Suppliant Women):

    “只有天生自由的人在公众面前可以自由地演讲,这才是真正的自由。如果他能够也愿意自由地演讲,便能赢得崇高的赞誉。相反,如果他不能或不愿意的话,也能保持他的沉默。在一个国家里还有什么比这更公正的事情呢?”

    而他的讲演稿的标题“Areopagitica”本来并非一个英语词,而是一个古希腊名词——“雅典最高法庭”,其原本的词义和“言论自由”并不相关。正是古希腊法律对于言论自由的充分肯定才使得文艺复兴后的英国和启蒙者把这个名词升格为普适的言论自由。弥尔顿要说的是,一个文明和公正的国家,必须以最高的仲裁形式把言论自由置于至高无上的地位。

    这篇演讲稿,成为了人类历史上最重要的捍卫言论自由的哲学文献之一。弥尔顿阐述了古希腊时代的言论充分自由,敦促他的时代和社会以此为榜样。以古希腊雅典的最高法庭为标题,以古希腊欧里庇得斯剧中台词为扉页题词,还有什么比这更能体现古希腊的批判精神对于一个社会走向文明和公正的伟大作用?其实,仅用“伟大”来形容是远远不够的,这是人类社会进步和公正的本源。
 楼主| 发表于 3/29/2017 01:46:09 | 显示全部楼层
古希腊证明几何学的成因之谜

    希腊几何学是数学史上1颗璀璨的明珠。她作为1种科学研究的范式,直接影响过西方数学,乃至整个科学的发展。著名数学史学家克莱因在《古今数学思想》1书中曾经指出过:“希腊人在文明史上首屈1指,在数学史上至高无上。”并且他提出了数学思想史上非常重要的1个问题,这就是“文明史上的重大问题之1,是探讨何以古希腊人有这样的才气和创造性。”[1]本文试图对“克莱因问题”进行探索求解,以破解长期困扰着数学史研究中的希腊论证几何学的成因之谜。反观“中国古代为什么没有产生证明几何学”也就容易找到答案了。

    1

    古希腊是1个移民的社会,从开始就没有像东方民族所具有的以血缘关系为纽带的宗法式的社会结构。这种以地缘关系为基础的社会共同体,加上希腊所处的独特地理位置,为希腊古典的民主政治和商品经济——希腊城邦制的出现提供了必要的条件。在此基础上,古希腊社会孕育出了1种独特的文化形态——古典的理性文化或科学文化。希腊几何学正是在这种理性文化中诞生、形成和发展起来的。

    古希腊是法学的发源地,法律文化得到了充分的发展。公元前11世纪——9世纪是希腊的荷马时代,也就是史称的“英雄时代”。这1时代是希腊社会发生重大变革的时代,首先表现在希腊人自我意识的觉醒。希腊人开始从宗教神学中解放出来,以“人为1切事物的尺度”来审视世间的1切。荷马时代实质上是希腊历史上的1次思想启蒙运动,是古希腊文明的开端。从此,希腊民族完成了从神秘主义文化向理性主义文化的转变,开创了以法律文化为轴心的科学文化的历史进程。《荷马史法》作为调整社会关系、重建社会秩序的法典,确立了1种政治民主制:其中包括议事会、人民大会和首长选举等内容。因此可以说,希腊文化的源头或逻辑起点是《法典》,由此铸成希腊民族的“法律”意识和“法制”观念。尔后的德拉古立法,直到公元前594年梭伦立法,最终确立起古希腊的法律体系,推动了希腊民族法律文化的繁荣发达。希腊人唯“法”是从,遇事讲“理”,依法办事,他们以“法”的眼光审视社会、审查自然、审理知识,创造出了独具特色的古希腊文明。

    希腊几何学的证明思想导源于法律文化,论证几何发凡于梭伦立法时代。希腊的法学称“正义学”。人们在立法的过程中首先遇到的是:“什么是正义?为什么有罪?”等法理问题。其中包括“公理、公设、前提、条件”等法学的基础问题,以及审判过程中的“事实、理由、证据、推理”等法学的逻辑问题。要从根本上弄清楚这些法理问题,人们就必须在思想上进行1种“分析”的理性思考。立法者告诫人们:法律是规则的、普遍的,并对1切人都是相同的;法律所需要的是公平,诚实与有用;他们欲求为1普遍的规律对于1切人都是1样,因为种种理由所有的人都要服从法律。

    梭伦当权后,所做的第1件事,同时也是最大的1件事,就是对“法律”制度的改革。他认为,无法和内乱是人类最大的灾难,而法律和秩序则是人类最大的幸福。梭伦改革的目标是企图建立1个为新的、旧的势力都能接受的民主和谐的政治,以保证社会各种势力的平衡和政治稳定。为此,梭伦建立了新的法律,史称“梭伦”立法。其中最大的举措是加强了公民大会的权力,凡年满20岁的雅典公民均可参加,会议定期举行。400人组成议会。他创建了宏大的人民法院——依利艾阿,总人数达6000人,任何人都可以谴责执政官的无理决定。

    公元前6世纪雅典陪审法院的建立,这不仅标志着希腊民主政治的进1步完善,而且更为重要的是促进了整个希腊学术思想的繁荣与发达。古希腊的法律文化发展到1个新的阶段。首先是推动了自然法的理论研究。强调其法律存在的客观性和同1性,认为不同国家和不同时代的法律有其共同的根源和价值目标,这就是人的本性和规律,就是理性,就是正义所综合的1系列价值目标,如自由、平等、秩序等。因此,自然法学者特别重视探索法律的终极目标和客观基础。其2,法根源于人的永恒不变的本性:社会性和理性。真正的法律或自然法应与之相符,特别是与理性相符合,或者说法是人的理性所发现的人的规律和行为准则,是“理性之光”,它能照亮人前进的道路。其3,法的功能和目的在于实现正义。所谓正义,就是基于公共幸福的合理安排,就是人在社会中“得其所哉”,即享受人应该享受的权力和平等地承担义务,法律面前人人平等。其4,法律作为1种社会的行为准则能使人们辨是非、知善恶,自然法就是人们不断追求的终极性的价值目标。

    生活在梭伦立法时代的泰勒斯,与梭伦同为希腊“7贤”里的人物。他受希腊法律文化(社会立法)的深刻影响,尤其是受自然法理论研究的启发,创造性地运用法学的思想和方法为知识“立法”。泰勒斯对经验几何学知识进行了卓有成效的理性研究。作为数学思想家的泰勒斯,他突破了以往几何知识仅仅“是什么”的认识水平,将几何知识提升到了“为什么”的认识层次。由此开几何命题的证明之先河。泰勒斯在进行几何学研究的过程中,不仅发现了“任何圆周都要被其直径平分;等腰3角形的两底角相等;两直线相交时,对顶角相等;若已知3角形的1边和两邻角,则此3角形完全确定;半圆周角是直角”等5个几何命题,而且还从理论上证明了这些命题。[2]

    毕达哥拉斯继承和发扬了泰勒斯的证明几何学,并且将数学概念抽象化,进1步推动了演绎数学的发展。毕达哥达斯的“数是万物的本质,宇宙的组织在其规定中通常是数及其关系的和谐体系”的数理宇宙观对古希腊的数学思想产生了极其深刻的影响。毕达哥拉斯学派因发现“无理数”(不可公度的量)而引起的第1次数学危机,充分证明了几何证明的必要性,在1定程度上进1步推动了人们对几何命题的理论证明。

    贯穿于希腊古典民主政治、商品经济和理性文化之中的是希腊的自由精神,这是在世界上其他任何民族都没有出现的。这种自由精神最终演化为学术思想上的自由探索精神。正是这种“百家争鸣”的希腊研究之风,才迎来了“百花齐放”的希腊科学之春。

    2

    独具特色的希腊语言文化也是希腊理性主义起源的1个重要诱发因素。最早对语法现象进行研究的是希腊人。公元前10世纪前后,希腊人在闪语字母的基础上,经过1番改造,首次创造了音位文字字母,并且还把闪语文字自右向左的书写规则改为自左向右。到公元前775年左右,希腊人把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母,建立起了希腊语言文字系统。在此基础上理论家们开始了为语言“立法”——语法的研究。赫拉克利特指出过:“如果要想理智地说话,那就必须用这个人人共有的东西武装起来,就像城邦必须用法律武装起来1样,而且要武装得更牢固。”[3]

    希腊哲学、法学、逻辑学与希腊语言文字的关系密切。哲学中的许多派别的理论观点时常牵涉到对语言的认识。法学中的论战、法律条文的制定,也往往涉

    及到对语言的修辞和准确的表达。逻辑学与语言学,特别是与语法学的关系更是密切相关。语言是思维的物质外壳,是思维的工具。思维要通过语言来表达,它是否合乎逻辑就成为语言表达中的1个重要问题。语言家要利用逻辑学的术语和方法来研究语言中的结构意义;另1方面,研究逻辑的也往往牵涉到语言的问题。

    希腊的语言结构复杂。希腊语言中的动词更是变化多端,它有人称、时、态、体、式的变化。特别是由系动词附图变来的(附图)1词,具有多种的语言意义,表现出多种的语法关系。正是这种奇特的语言现象引起了理论家们的关注,成为“智者”们思考和研究的对象。

    当希腊语中使用“附图”1词时,就有多种不同的意义。亚里士多德曾经指出:“当动词‘是’被用来作为句子中的第3种因素时,会产生两种肯定命题与否定命题。如在句子中‘人是公正的’中,‘是’这个词被用作第3种因素,无论你称它是动词,还是名词。”[4]系动词“附图”在希腊语中不同凡响,它是人们进行言语对话,进行思想交流,进行陈述和判断不可缺少的词语。同时,在人们的语言表达中最容易产生歧义的也是这个中词。在“他在这儿”这个句子中,它所表示的是1种物理位置;在“天使是白色的”这个句子中,它表示天使的1种与位置或物理存在无关的属性;在“那个人正在跑”这个句子中,这个词所表示的是动词的时态;在“2加2等于4”这个句子中,它的形式被用于表示数字上的相等;在“人是两足的能思维的哺乳动物”这个句子中,它的形式被用来断言两组之间的等同。

    在形式逻辑的主宾式语句中“附图”是1个典型的多义词。它可以表示“=”(等于)、“∈”(隶属)和“附图”(包含)3种关系。例如:(1)“欧几里得是《几何原本》的作者”与“《几何原本》的作者是欧几里得”,这里的两个“是”具有可逆性,他们是1种等价的关系(=),可解释成关系“=”(等于)。(2)“欧几里得是古希腊的数学家”中的“是”为“∈”(隶属)。即个体和集合之间的隶属关系、层次关系,因而不可逆。可解释成关系“∈”(隶属)。(3)“数学家是科学家”中的“是”被解释成关系“附图”(包含),即集合与集合之间的包含关系,1般来说也是不可逆的。科学家不1定是数学家。

    正是由于希腊语言中的这种多义词,也往往容易产生语言思维中的歧义性,由此引发了语言文化史上的“希腊景观”——观念的战争。正如科学哲学家被波普尔所指出的那样“观念的战争是希腊人的发明,它是曾经作出的最重要的发明之1。实际上用语词战争代替刀剑战争的可能性,还是我们文明的基础。特别是我们文明的1切立法和议会机构的基础。”[5]

    由此可见,当我们探索追踪古希腊论证几何学的成因的时候,我们不能不考察独特的古希腊语言文化方面的根源。

    3

    古希腊哲学——本体论、知识论和逻辑学是希腊理性文化中的精品。“爱智者”们从深层次的根基问题上开始了对法学和语言学中所提出的带普遍性的诸如“自然规律”、罗各斯、真理等知识理论问题进行理性思考。公元前5世纪出现的智者运动,对希腊哲学的发展以及几何学的发展产生了重大的影响。当时,雄辩术(Sophistry)的1个方面或1种类型就是进行某种语言审查,称为反驳论证(Elenchis),要求把1切行为都置于理性批判和理性推论的基础之上。希腊论辩术除了论点和论据以外,还涉及到逻辑,即语言处理法。“逻辑”这个概念,在古希腊语言文化的使用中有多种含义:发言、演说、陈述、论证等等。但概括起来讲,逻辑1词主要有3个应用领域,它们之间有着潜在的概念上的统1性。首

    先是语言和语言的领域,包括发言、演说、描述、陈述、(用语言表达的)论证等等;其次是思想和思维过程的领域,包括思考、推理、解释、说明等等;第3是世界,即我们所言说、所思想的对象,包括构造原理、公式、自然法则等等。

    词汇、思想和事物之间究竟是1种什么关系?这成为智者们思考的1个重要问题。1旦人们把这3者区分开来,同时仍然坚持作为获得真理和知识的必要条件,3者之间应该具有某种1致性,由此人们就面临着如何最恰当的理解逻辑与这3者的关系问题。1个事物的逻辑就是:其1,事物自身的原则、本质、显著标志或事物本身的组成部分;其2,我们认为它所是的东西;其3,对事物(语言上的)正确描述、说明或定义。这些都提出了是什么的问题。事物的逻辑在第1项下是指事物是什么;在第2项下是指人们认为它指的是什么;在第3项下是指人们说它是什么。归根到底,从最高意义上讲,也就是思维和存在的关系问题。苏格拉底向人们指出,要解决这个问题,“最好求助于罗各斯,从中考查存在的真理。”

    至少有10种含义的希腊字“附图”成为苏格拉底时代希腊哲学发展的突破口。独特的希腊系动词“是”(附图)引起了理论家们的注意,成为哲学家思考和研究的对象,由此而开创了哲学本体论的研究领域。作为哲学范畴的“附图”1词的哲学意义为“存在”、“本性”、“有”、“是”。存在与非存在、有与无、是与非等问题的论争贯穿于希腊哲学发展的全过程,特别地成为辩证法的摇篮。3大几何难题(3等分角、化圆为方、立方倍积)和芝诺4大悖论(实质是运动和静止、有限和无限、连续和间断的矛盾性)的出现都是希腊人辩证思维的产物。

    苏格拉底在爱利亚学派的本体论和芝诺反证法的基础上,首创“诘问式”的辩证方法,1种“发明观念”的矛盾方法,促进了对“定义”和“推论”的深化研究。他提出“真正的知识基于普遍的定义”和“归纳的理论”。他以逻辑辩论的方式启发思想,揭露矛盾,以辩证思维的方法深入到事物的本质。苏格拉底致力于寻求事物的普遍定义,例如“什么是正义”。他总是以提问的方式揭露对方提出的各种命题、学说中的各种矛盾,以动摇对方论证的基础,指明对方的无知。苏格拉底以此来训练人的逻辑推理能力。

    柏拉图不仅是1位法理学家,而且是1位极其重要的数学思想家。“不懂几何者不能入内”是他教育学生、训练思维的主要方法。在数学教育史上,柏拉图是第1个提出以几何学作为训练和提高人的思维能力的哲学家和教育家。在数学方法论上,柏拉图是第1个把严密推理法则加以系统化的人。他特别关心数学中的证明问题,关心推理过程中的方法论。柏拉图提出数学证明应以某种假设作为出发点,即公理、然后通过1系列逻辑推理,最后达到所要证明的结论。他将这种数学推演过程概括为“假设法”。柏拉图学派把几何学证明方法的发明推向高潮。他们发明了几何证明中的分析法、间接证明中的归谬法。古希腊从柏拉图时代起,数学上要求根据1些公认的原理作出演绎证明,已经成为数学研究中的1个准则。演绎证明是以其正确性已经是众所周知的理论陈述,或者以在1个既定的理论体系中被视为正确的公理为出发点,并以它们为根据,借助于逻辑的最终规则,构成1系列陈述,而这些陈述的最后是可以被论证的命题。每1个相继产生的陈述必须按照最终规则从前1个陈述中产生。数学中纯粹的演绎证明,早已是以相关理论的广泛的形式化为前提。

    法学家、哲学家、数学家欧多克索斯,继承了毕达哥拉斯学派开创的把几何学作为证明的演绎科学进行研究的方向。在同代人,特别是柏拉图学派的研究基础上,初步建立起以公理为依据的演绎法。欧多克索斯的数学思想完全来源于希

    腊的哲学文化。希腊字假设(hypothesis),其本意为辩论双方可接受的命题为出发点,不需证明或证实的是基本命题。公理(Axioma)原义乃请求,转义为公理,指基础、研究的出发点。欧多克索斯总结出直接证明的演绎推理手法与间接证明的反证法,分析法和综合法为几何证明中的主导思想方式。

    亚里士多德为古希腊哲学文化的集大成者。他倡导“第1哲学”,研究“存在的存在”,作为“是的是”的科学。他认为,思想在推理和证明的过程中的联系、逻辑学定律和规则,是以存在本身的联系为基础的。亚里士多德的形式逻辑,作为工具论,对希腊证明几何学的最终完成,作出了重要贡献。他在《分析篇》中指出:“我们无论如何都是通过证明获得知识的,我所谓的证明是指产生科学知识的3段论。所谓科学知识,是指只要我们把握了它,就能据此知道事物的东西。”[4]他在《论题篇》中指出:“推理是1种论证,其中有1些被假设为前提,另外的判断则必须由它们发生。当推理由此出发的前提是真实的和原初的时„„这种推理就是证明的。”[4]亚里士多德明确提出证明3要素:1是有待于证明的结论;2是公理(公理是证明的基础);3是载体性的种及其规定及依据自身的属性由证明揭示。他还认为,数学是研究形式的,人们通过算术证明几何命题。

    亚里士多德的逻辑学是为人们的思维“立法”,它所总结出来的逻辑规律(同1律、矛盾律、排中律)为几何证明提供了1种法度,即有效推理的准则。数学论证必须满足两大条件:真前提或出发点,以及有效的论证。数学推理都是根据矛盾律进行的;反证法的依据是逻辑的排中律。希腊人确信,逻辑是科学的工具,真理是建立在证明之上的,而且是1种“信念”的源泉。理所当然,数学体系的建立离不开思维的逻辑工具。

    4

    公元前300年左右,亚历山大里亚的数学家欧几里得站在巨人的肩膀上,运用亚里士多德形式化的逻辑分析和证明理论,终于建立起1个完备的几何学知识体系。他把前人已有的几何学知识充分搜集起来并加以系统化,从中抽出那些最简单、最基本,已被无数经验事实所1再证实了的命题,作为不证自明的公理或公设,再由此出发,以严格的逻辑演绎方法,循序渐进、由简及繁地引出几何学的全部定理,并为之提供了精辟的逻辑证明。《几何原本》的诞生,标志着希腊证明几何学的完成和演绎数学体系的确立。

    在《几何原本》里,欧几里得对他以前的和他亲自增补的所有几何问题,作出了严格的逻辑性的叙述。这种叙述是借助于演绎法包含把假定作为基础的某些不要求证明的定义和真理,而1切进1步的原理则用严格的证明作出,这些证明或者是根据这些真理,或者是根据由真理得出的原理。欧几里得倡导的“定义—公设—公理—命题”4步曲,成为数学研究的纲领方法论和数学理论最通用的铺陈方式,以及“已知—求证—证明”的数学演算3段论,对后世的数学发展产生了极其深远的影响。

    综上所述,我们可以得出以下结论:希腊几何学从泰勒斯开始,到欧几里得完成,其间经历了萌芽、生长、成熟和定型4个阶段,历经300余年的发展。每1个阶段的演进都受到了希腊理性文化的深刻影响。法律文化中的公理、假设、理由、证据等范畴是几何学中的公理、公设、推论、证明的概念根源;语言文化中的希腊系动词“是”(附图)独特的语法现象,诱发出了哲学本体论和知识论的研究,以及逻辑学中的概念、判断和推理等思维形式的研究,这些都成为几何学中的定义、推论和证明的理论基础;博大精深、内涵丰富的希腊哲学文化,成为几何证明方法不断发明创造的源泉动力。反过来,公理几何学的发展,给希腊理性文化以影响,使之具有几何学的本质。由此从中给人们透露出1种信息:几何学,乃至整个数学的发展无不受到人文、社会科学发展的影响和制约。文理交叉、优势互补、相得益彰、协同进化,是科学发展的1条重要规律。
 楼主| 发表于 3/29/2017 01:49:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 樊梨花 于 3/29/2017 01:59 编辑

模糊语言与科学无缘

中国这个语言, 文言文是一套语言系统, 老百姓说话又是一个语言系统。没个十几年时间,你都不会熟练地掌握文言文。至于思想家使用的概念,生活中你根本遇不到,没个十年八年的功夫,没个明白人给你解释,你又怎么能理解?所以说,即使你读懂了文言文,你也未必能读懂思想家的思想。再说了,后代人解释的思想家的概念,其实与思想家本人的概念也未必一致,有时候可能是相差十万八千里。张三这样说,李四那样说, 再好的额脑子也给绕糊涂了。有时候不解释还好一点,越是解释越是弄逑不清。比如老子说的,道可道,非常道,这一句话,就有几十种解释?谁能说自己的解释就一定是正确的?学者自己都闹不清楚,你让一般老百姓如何弄清楚?

    还有就是,中国的方块字,它是一种模糊语言,它的每个字词都可以有多种解释,有时候意义甚至完全相反。更要命的是每个人都可以根据自己的领悟能力去解释,完全没有标准。你又怎么能搞明白?比如有一则报道:中美乒乓球比赛,第一天的报道是:中国队大败美国队,这是说中国队胜利了, 第二天的报道是,中国队大胜美国队, 这还是说中国队胜利了。这样的语言,用来解释概念非常严谨的哲学,你怎么能理解得了?
 楼主| 发表于 3/29/2017 02:13:54 | 显示全部楼层
泰勒斯、阿纳克西曼德和阿纳克西美尼,创立了米利都学派。米利都学派的观点是朴素的唯物主义,米利都学派开创了理性思维,试图用观测到的事实而不是用古代的希腊神话来解释世界。

米利都学派的创始人是泰勒斯(Thales,约公元前624-公元前547),他第一个提出了“世界的本原是什么,”这一哲学问题,并给出了自己的答案:水是万物的本原。他认为万物之源为水,水生万物,万物又复归于水。这个观点排除了当时流行的神造世界的臆想断说。至于他提出这一断言的理由是什么,亚里士多德说:“他得到这个想法,也许是由于观察到万物都以湿的东西为养料,热本身就是从湿气里产生,靠湿气维持的(由此产生万物的东西即是本原)。这是引起他的想法的一个事实。另一个事实是:万物的种子都有潮湿的本性,而水是潮湿本性的来源。”很明显亚里士多德也认为泰勒斯的观点是受到经验的启发。在古希腊神话中大洋之神俄刻阿诺斯和大洋女神是产生世界的最初双亲,诸神都凭地狱中的河——斯底克斯发誓。因此,在希腊神话中水是万物中最尊贵和最古老的。另一个是经验观察的结果。他从米利都到埃及,看到了世界到处都是水,认识到水对于世界和生命的重要性。他说过,大地浮在水上,这就是说没有水的浮力,大地就无法存在。他还观察到不管是生命的种子,还是生命的养料都是潮湿的,没有水根本就不会有生命。许多事物产生于水,又复归于水:水蒸发为气,水转化为冰;鱼儿在水中产生,又在水中消失。他正是根据这两个方面得出说水是万物本原的结论。

米利都学派的第二位哲学家是阿那克西曼德(Anaximander,约公元前610年-公元前546)。阿那克西曼德从泰勒斯的前提出发,对本原问题作了另外的回答。他认为,世界万事万物就是由 “无定”产生出来的。“无定”意思是没有任何规定性的东西。它既没有具体的性质,也没有任何具体的形状,还没有固定的大小。“无定”本身包含有冷和热这两种对立物,永恒的运动把它们分离出来,热形成了一个火圈,火圈破裂后就产生出太阳、月亮和其他星辰,大地和环绕它的空气是冷产生的。地上的第一批生物是在潮湿中产生的。人是由鱼变来的,因为人在胚胎时很像鱼。阿那克西曼德认为,万物是“无定”产生的,万物消灭后又要回到“无定”中去。

米利都学派的第三位哲学家是阿那克西美尼(Anaximenes,约公元前588 -前公元526)。阿那克西美尼最先区分开行星和恒星,认识到冰雹是由雨冻成的,虹是由太阳光投射到极浓厚的云层上产生的。阿那克西美尼认为本源应是有定的东西,就是气。气并不是神创造的,相反,神却是来自气。世界上一切事物都是由气的凝聚和疏散而形成的。当气疏散时,它就变成火;当它凝聚时,先是变成云,进而变成水,然后形成大地、石头。

无论是“无定”还是“气”,虽然离直接经验比较远,但是追根溯源均离不开经验的提示,都是在经验的基础上做出的推测和预言。他们开创了用事物量的变化来说明事物在性质,开了西方用唯物主义观点解释精神现象的先河。

2毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯学派是早在柏拉图、亚里士多德之前古希腊颇具神秘

前色彩的一个学派,其领袖人物是毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元580-前公元500)。这个学派崇尚数学,讲究数学传统。他们认为数是万物的本源,圆形和球形是世界上最完美的几何图形。虽然,我无法准确地说出他们最初是如何认识到数与数之间的和谐关系即是宇宙的真实秩序;但是,据说他们经常在沙滩上用小石子排列各种各样的图形来对数进行研究。结果他们把3,6,10,15„„叫做三角形数,9,16,25„„叫做正方形数,因为用前者数目的小石子可以把4,规则地拼成正三角形,用后者数目的小石子可以规则地拼成正方形。而当他们发现由1+2+3+4=10颗小石子能排成赏心悦目的正三角形时,就把10这个数称为“圣数”,即最完美的数,因为在他们眼中正三角形看上去是对称的、和谐的。而他们之所以把圆形和球形看作是最完美的几何形体,最初可能也是缘于对天体形状观察的结果。正如我们前面谈过的。他们通过观察,认为月光是阳光反射的结果,月面明暗交界处的圆弧形,表明月球是球形的;而通过月食时大地投射到月球上的影子的观察,认为圆形的阴影正好说明地球也是球形的;而给世界带来温暖和光明的太阳则显然是球形的。并进一步在对日升日落的体验和观察中,得出这些天体都在绕着地球作着昼夜不停的匀速圆周运动的结论。正是在这种认识的基础和前提下,怀着对大自然深深的敬畏,才从内心产生出圆形和球形是最完美的图形,而匀速圆周运动是最完美的运动的观念。由此可见,崇尚数学的毕达哥拉斯学派的科学家们的基本理论和观点,尽管属于抽象的数学范畴,但是其背后仍然受着来自经验的视觉化的自然图景的暗示和启发。据说,有一天毕达哥拉斯经过一个打铁作坊时,听到铁匠敲打不同长度的金属棒时发出了悦耳的谐音,使他联想到音乐的谐音和数学的比例相联系的想法。而系于绳端旋转的物体能发出声响的现象,又使他想到了旋转的天体。于是毕达哥拉斯学派的哲学家们得出了“天体的和谐”。他们虔诚地相信他们的心灵能够听到宇宙的歌唱。恩格斯曾评价说:“就像数服从于特定的规律那样,宇宙也是如此。于是宇宙的规律性第一次被说出来了。人们认为把音乐的音谐归结为数学的比例的是毕达哥拉斯。”毕达哥拉斯学派“简单、和谐、完美”的思想成为后来宇宙规律性一次又一次被更清晰、更准确地说出来的深刻的哲学思想基础,对后人的科学研究工作产生了重要的影响。正如薛定谔所说:“但公正地说,人们不应该忘记这是当时当地在数学和几何领域最伟大的发现。这一发现通常与对物质客体实际的或想象的应用相联系。现在,数学思想的本质就是从物质客体获取它的抽象数字并研究它们及它们之间的关系。正是基于这样一个程序的特性:用这种方式所得出的种种关系、模型、公式、几何图形等,实际上经常意想不到地用于物质客体,而这些物质客体与最初抽象出上述关系、模型、公式、几何图形等的物质客体相比有很大不同。数学模型或公式突然之间就把那些它们从未打算介入的领域以及不曾为人想到而由它们得到的领域梳理得井井有条。这种经历是十分令人难忘的,而且极易使人相信数学的神奇能力。”

3柏拉图学派

柏拉图(Platon,约公元前427-公元前347)是古希腊伟大的哲学家,也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一。柏拉图和他的老师苏格拉底(Sugeladi,公元前470-公元前399)以及他的学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。

柏拉图年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底学习哲学,受到逻辑思想影响,尔后成为雅典举世瞩目的大哲学家。柏拉图从毕达哥拉斯学派吸收了许多数学观点,并运用到自己的学说中,因此,柏拉图的哲学提高了对数学科学的兴趣。他充分认识到数学对研究哲学和宇宙的重要作用,并积极鼓励自己的朋友,学生学习和研究数学。柏拉图在雅典建立了自己的学派和学园,据说在他的学园门口写着“不懂几何者不得入内。”他认为“天文学和几何学一样,可以靠提出问题和解决问题来研究,而不去管天上的星界。”柏拉图认为宇宙开头是没有区别的一片混沌。这片混沌的开辟是一个超自然的神的活动的结果。依照柏拉图的说法,宇宙由混沌变得秩序井然,其最重要的特征就是造物主为世界制定了一个理性方案;关于这个方案付诸实施的机械过程,则是一种想当然的自然事件。柏拉图的宇宙观基本上是一种数学的宇宙观。他设想宇宙开头有两种直角三角形,一种是正方形的一半,另一种是等边三角形的一半。从这些三角形就合理地产生出四种正多面体,这就组成四种元素的微粒。火微粒是正四面体,气微粒是正八面体,水微粒是正二十面体,土微粒是立方体。第五种正多面体是由正五边形形成的十二面体,这是组成天上物质的第五种元素,叫做以太。整个宇宙是一个圆球,因为圆球是对称和完善的,球面上的任何一点都是一样。宇宙也是活的,运动的,有一个灵魂充溢全部空间。宇宙的运动是一种环行运动,因为圆周运动是最完善的,不需要手或脚来推动。四大元素中每一种元素在宇宙内的数量是这样的:火对气的比例等于气对水的比例和水对土的比例。万物都可以用一个数目来定名,这个数目就是表现它们所含元素的比例。

柏拉图学派主张科学的任务是发现自然的结构,首次提出了应该把严格推理法则系统化,从而为数学走向新的阶段起到前导作用。同样,深受毕达哥拉斯影响的柏拉图虽然认为数学“„„能迫使灵魂使用纯粹理性通向真理本身”,然而,他在用数学模型来构造和解释世界时,用的却仍然是由两个不同的三角形组成的五个凸正多面体,并让这五个凸正多面体分别与四个物理元素以及他所谓的“第五元素(quintessence)”相对应。从这儿可以明显地看出这位崇尚数学的哲学家对来自经验的和谐对称的形象化图景的嗜好和偏爱。

亚里士多德(Aristoteles,公元前 384-公元前322),这位崇尚演绎逻辑,提出了通过演绎去获得科学知识的认识方法的 “百科全书式的学者”。他的许多命题依然是在对生活现象观察的基础上,通过联想和想象获得的。当他看到在没有其他因素的自然状态下,火和气总是作直线上升运动,而水和土却在作直线下落运动时,就把自然界的运动分成自然运动和非自然运动两种运动状态。他认为不同的物体有其不同的天然位置。当物体处于它的天然位置时,它就会保持自己的天然位置不动;而当它不在自己的天然位置时,它的一种回归自己天然位置的本性,会驱使它尽量和自己的天然位置接近。也就是说每一种物体都有自己天然的家园,当它远离家园的时候,就要产生“回家”的渴望,而且这种渴望会随着自身重量的增加而不断加剧,这就是为什么越重的物体自由下落越快的原因。而物体的非自然运动则是向非天然位置的运动,是违反物体本性的,是物体的一种不情愿的运动,是一种强迫运动,需要外力来推动。此外,他的物体运动的速度与外力成正比的命题;他的力是使物体产生运动的原因的命题等等,均是在对生活现象观察的基础上,通过联想和想象获得的。当然,他的思想中包含大量思辨的唯心的成分。而他主张地球的形状是球形的,是因为他认为“世人能够从感觉上体会到的一些现象也可以作为地球为球形的证据。当月食的时候,其显明部分恰带有球形的形状,这还有什么可以解释的呢,„„但是月食的原因乃是由于地球掩蔽地球之固,因而这就是说,地球表面的球形确定了月球的轮廓。”视觉化经验的提示由此可见一斑。

4地心说

最初是由古希腊学者欧多克斯提出,后经亚里多德、托勒密进一步发展而逐渐建立和完善起来。

是希欧多克斯(Eudoxus of Cnidus, 公元前408 - 公元前355腊天文学家和数学家。他接受了柏拉图关于行星必须在正圆轨道上运行的观点。然而他在观察了行星运动之后不得不承认,行星的实际运动并不是正圆轨道上的匀速运动。为了当时所谓的“保全面子”,他是第一个试图修改柏拉图理论使之适合观察到的实际情况的人。他认为行星在其中转动的球体的两极在另一球体中转动,而第二个球体的两极又在第三个球体中转动,以此类推。每个球体的转动是匀速的,但各球体的转速及一球体的两极与其相挨球体两极的倾斜度总和构成行星的全部运动,而这各运动就是实际观察到的不规则运动。

接下来我们来了解一下托勒密(Claudius Ptolemaeus,约90-168)的思想。托勒密是古希腊著名的天文学家、数学家、地理学家和地图学家。公元127-151年间,他在埃及亚历山大城对天文天象进行了长期的观察,并全面、系统地总结了亚里士多德、阿波罗尼和喜帕恰斯等古希腊哲学家们在天文学理论和实践上的成就,然后结合自己的观察,在视觉化经验的提示下通过联想和想象,创立了以“地球中心说”为基础的天文学理论体系。其主要观点如下: 第一,地球位于宇宙中心静止不动,从地球向外,依次有月球、水星、金星、太阳、火星、木星和土星,在各自的圆轨道上绕地球运转。 第二,行星的运动要比太阳、月球复杂,每颗行星都在一个称为“本轮”的小圆形轨道上匀速转动。而本轮中心则在称为“均轮”的大圆轨道上绕地球匀速转动,地球并不在均轮圆心,它与圆心有一定的距离。第三,恒星都位于被称为“恒星天”的固体壳层上。日、月、行星除了上述运动外,还与“恒星天”一起,每天绕地球转一圈。托勒密较为完满的解释了当时观测到的行星视运动情况,并取得了航海上的实用价值,从而被人们广为信奉。占统治地位长达1000多年。托勒密著有十三卷《至大论》和三十八卷《地理学》,此外还写过占星术和光学方面的著作。托勒密认为研究天文学的方法应该是“算术和几何学的无可争辩的方法”,即用算术和几何学的方法来概括观察资料。他说:“我们希望从古人和我们自己的观察中找到明显而确切的形象,并把几何论证的方法应用到这些概念的结构上去。”这说明他的几何学还属于天体几何学的范围,是天文学发展的初级阶段,主要任务是描述天体的几何位置、距离和运行轨道的几何图形。

托勒密的“地心说”把地球当作宇宙的中心。他认为,我们每天都可以看到太阳的东升西落,都可以看到自由落体总是垂直下落。这些现象说明地球是静止的。如果地球是运动的,那么物体就应该斜着下落,而且天空中的飞鸟和云朵也不会是自由地飞翔和飘浮,并且我们还会感到从地球运动的方向吹来强劲的风,而实际上这些现象都没有发生,那么就可以想象得到地球肯定是静止的。他说如果地球在不停的运动,地球上的一切物体就有飞出地球的危险。显然,他的理论框架也是建立在自然现象的视觉直观的图景之上。或者说就是对事物表象的直接描写。虽然作为假说,“地心说”包含许多思辨的成分,但同毕达哥拉斯以及亚里士多德相比要少得多。托勒密注重事实和观察,为了让自己的理论尽量符合观察数据,他引入了偏心圆,并运用了大量均轮和本轮,从而使他的体系显得过分繁杂;但他的这种尊重事实的态度无疑是科学的。而且他的这种努力也确实给他带来了巨大的成功。使他的理论能较为准确地预测天体的运动。他提出的对称点的概念,人们发现和后来开普勒所说的椭圆轨道上的两个焦点,颇有暗合之处。不论这么说,他的这种对自然形象直观的描绘,无论从感性经验还是认识水平都和当时人们的接受能力相一致,这也是他的理论之所以能被人们长期认可的一个主要因素。从这里我们又一次感受到来自视觉化经验的提示对一个人的影响是多么巨大。譬如,欧几里德(Euclid,公元前330-公元前270)是古希腊的数学家。以其所著的《几何原本》(简称《原本》)闻名于世。欧几里得将公元前 7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中,使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外,他还有不少著作,可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作,体例和《原本》前6卷相近,包括94个命题,指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本,论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。即使像欧几里德这样以其所建立的几何严密而完整的逻辑体系而著称的科学家,在他的理论中仍然可以窥探到视觉化的形象直观图形的影子。在证明两个图形全等时,他就是通过诉诸叠合的形象化手段来进行的。也就是说是通过诉诸“意象”的联想和想象来完成的。而事实上,几何学所以比代数学发展得更快、更早,也与其自身所具备的形象直观的特性分不开。
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